Квадратичный метод: подробное объяснение

В последнее время я систематически размышлял о том, как более вдумчиво и интересно объяснять школьные математические концепции, создавая свое Ежедневное задание уроки. Однажды сентябрьской ночью 4491, а Обдумывая различные способы размышления о квадратной формуле, я был удивлен, придумав простой метод исключения догадок и проверок из факторинга, который я никогда раньше не видел. Альтернативный метод решения квадратных уравнений

  1. Если вы найдете и с произведение на слагаемое, и все они являются корнями
  2. Два числа суммируются, тогда они равны
  3. Их продукт – когда
  4. Квадратный корень всегда дает действительный
  5. Таким образом работают как и, и все корни

Известный сотни лет назад (Viète)

Известный тысячи лет назад (вавилоняне, греки)

Отдельные шаги этого метода были отдельно открыты древними математиками. Комбинация этих шагов – это то, что мог бы придумать любой, но после публикации этой веб-страницы в открытом доступе единственная всплывшая ранее ссылка на аналогичный последовательный метод решения квадратных уравнений была приятной статья учителя математики Джона Сэвиджа , опубликованная в The Mathematics Teacher в 2019. Его подход перекрывался почти во всех расчетах с педагогической разницей в выборе знака, но имел различие в логике, поскольку (возможно, из-за дружелюбного стиля письма, который оставляет некоторую логику для интерпретации) он, похоже, использует дополнительный (правда, но значительно более продвинутый) факт, что каждый квадратичный фактор может быть разложен на два линейных фактора или имеет некоторые обратные направления импликации, которые не являются технически правильными. В частности, мой подход к избеганию дополнительного предположения в Завершение квадрата не был достигнут методом Сэвиджа. На странице , посвященной работе , метод, описанный Сэвиджем, сравнивается с методом, который я предложил. Поскольку я до сих пор не видел ни одной ранее существовавшей книги или статьи, в которых описывался бы этот тип метода таким образом, чтобы он подходил для начинающих учеников (избегая продвинутых знаний) и четко и последовательно обосновывал все шаги, я решил поделиться им, чтобы предоставить версия, на которую можно ссылаться.

Объяснение квадратичного метода на примере

Представленная ниже презентация основана на подходе из моей первоначально опубликованной статьи , но идет дальше. Он использует мое соглашение о знаках и мои собственные логические шаги (в отличие от использования версии Сэвиджа), чтобы быть логически обоснованным, а также потому, что я думаю, что мой выбор полезен для понимания более глубокой взаимосвязи между квадратичным и его решениями. Это также показывает чистое сведение проблемы от решения стандартной квадратичной задачи к классической проблеме, решенной вавилонянами и греками. Это видео представляет собой самостоятельный практический урок, в котором рассматривается множество примеров с объяснением каждого логического шага. Текстовое обсуждение ниже идет немного глубже и включает комментарии, которые могут быть полезны для учителей.

Обзор: Умножение и неумножение

Начнем с обзор фактов, которым обычно учат вводить квадратные уравнения. Во-первых, мы используем правило распределения для умножения (также называемое FOIL ):

Ключевой вывод состоит в том, что доход получается от сложения вместе, а доход от умножения вместе.

Вот еще один пример:

Поскольку у нас было два варианта, термины аннулировались, давая нам разницу в квадратах. Это будет полезно позже.

Причина, по которой полезно знать, что происходит при умножении, заключается в том, что, если мы можем сделать это в обратном порядке, мы сможем решить квадратные уравнения. Например, предположим, что мы хотим найти все такое, о чем мы уже знаем, что это то же самое (имеет точно такие же решения), что и единственный способ умножить два числа до нуля – это если одно (или оба) равны нулю. (Формальное обоснование этого свойства нулевого произведения использует базовую аксиому, что вы можете разделить на любое ненулевое число: предположим, что противоречие не равно нулю. Затем, разделив обе части уравнения на , получаем противоречие.)

Итак, эти работы – это как раз те, где (который есть), или (который есть). Обратите внимание, что решения – это числа, из которых мы вычитаем, то есть notand, butand. Важно отметить, что это все решения.

Обзор: Настройка факторинга

Давайте попробуем обратный процесс для примера. Было бы здорово, если бы мы могли разложить его на что-то вроде того, что у студентов нет пока узнали, что всегда можно найти такую ​​факторизацию, но наш подход также докажет им, что это всегда возможно! Согласно предыдущему разделу, если нам удалось разложить на множители, то все, что окажется в этих пустых местах, будет решениями. Но что будет работать в этих пустых местах? Два числа, у которых есть слагаемое произведение. Самый распространенный метод – найти эти числа наугад и проверить. Это может расстраивать, особенно когда есть отрицательные числа, которые нужно попробовать, и когда продукт имеет много возможных факторизаций (имеет массу возможностей).

Как указано в связанная работа , версия Сэвиджа имеет аналогичные вычисления, за исключением того, что он ищет факторизацию в математически эквивалентной форме. Тогда числа в пробелах – это отрицания решений, поэтому после нахождения факторизации Сэвидж отменяет числа в качестве последнего шага. С образовательной точки зрения, я думаю, что немного выгоднее чисто свести стандартную квадратичную к задаче суммы и произведения (без необходимости возвращаться и не забывать отрицать в конце), потому что тогда вы получите представление о прямая связь между коэффициентами и суммой и произведением корней.

Чтобы сделать это еще более естественным для новичка, я бы рекомендовал ввести концепцию разложения с начальным пример с отрицательным коэффициентом, так что факторизация уже естественна и удобна. Также становится еще более прозрачным наблюдение за решениями через свойство нулевого произведения, потому что отрицание не требуется.

Понимание: факторинг без догадок

Вот способ точно определить числа, которые работать без всяких догадок! Сумма двух чисел равна их среднему значению. Итак, мы можем попытаться найти числа, которые плюс некоторая сумма, и минус та же сумма. Все, что нам нужно сделать, это выяснить, существует ли такая работа, как два числа, и разрешено ли быть.

Посредством поиска двух чисел в форме и они автоматически суммируются. Итак, нам просто нужно, чтобы они умножались. Мы хотим выяснить, существует ли то, что удовлетворяет: мы уже видели подобный образец, где у нас есть сумма двух чисел, умноженная на их разность. Ответ – всегда разница их квадратов! Итак, переписав левую часть в эквивалентной форме, мы хотим выяснить, существует ли такое, что это интересно! Есть одинокий, а все остальное просто число! Это означает, что мы можем закончить поиск действительного, следуя нашему носу, вместо того, чтобы требовать каких-либо новых методов. Мы хотим: от чего мы можем получить Итак, выбор существует! (В качестве альтернативы мы могли бы сделать выбор, но это дало бы тот же результат.) Следовательно, прослеживая логику вверх, мы знаем, что и определенно будут двумя числами, у которых есть слагаемое произведение. Тот факт, что эти числа удовлетворяют отношениям суммы и произведения, означает, что факторизация существует, что также означает, что мы нашли полный набор решений: или.

Обратите внимание, что в этом подходе , нам нужно только существование одного конкретного числа, квадрат которого равен другому конкретному числу. В этом примере очевидно, что это число, квадрат которого равен. Как только у нас есть одно такое число, мы уже можем выполнить наши логические шаги и вывести полный набор решений исходной квадратичной. Напротив, на соответствующем шаге Завершение квадрата нам потребуется полный список всех чисел, к которым относится квадрат. Понятно, что это и должно быть в списке, но труднее ответить, почему это полный список (особенно когда в качестве параметров разрешены комплексные числа). Эта деталь обсуждается в , более подробно здесь .

Поскольку я отмечен в моей полной статье , хотя я (как и многие другие) независимо придумал трюк, как Чтобы найти два числа по их сумме и произведению, вавилоняне и греки уже знали этот конкретный трюк за тысячи лет до этого. Однако математика не была достаточно развита, чтобы они могли использовать этот трюк самостоятельно для решения общих квадратных уравнений. В частности, они не работали с полиномиальным разложением на множители или отрицательными числами (не говоря уже о нереальных комплексных числах). Для более подробного обсуждения посетите страницу , связанную с работами .

Пример использования: квадратичный, который не может быть легко разложен на множители

Теперь, когда угадывание исключено, мы можем фактически решить любую квадратичную с помощью этого метода. Рассмотрим этот пример: во-первых, давайте очистим его, умножив обе части на, чтобы получить уравнение с идентичным набором решений: Как и раньше, если мы можем найти два числа с произведением слагаемого, то факторизация будет существуют, и эти два числа будут решениями. Уменьшая сумму вдвое, чтобы получить среднее значение, мы видим, что все будет сделано, если мы сможем найти такие числа в форме и дать произведение. Эти два уравнения эквивалентны друг другу: мы можем удовлетворить нижнему уравнению, выбрав. Важно отметить, что математическое изобретение комплексных чисел позволяет нам извлекать квадратный корень из отрицательного числа, так что это правильный выбор. (Вот почему нам не нужна Фундаментальная теорема алгебры и, собственно, почему этот подход доказывает эту теорему для многочленов степени 2.) Итак, действительно есть два числа с слагаемым произведением, и они есть и, которые есть. Тот факт, что эти числа удовлетворяют отношениям суммы и произведения, означает, что факторизация существует, и поэтому мы нашли решения: Мы выполнили задачу, и нам вообще не пришлось использовать заученные формулы! Этот метод работает для любого квадратного уравнения, не требуя запоминания, и каждый шаг имеет простое математическое обоснование.

Доказательство квадратичной формулы

Если один хочет вывести квадратную формулу, этот метод также обеспечивает альтернативное простое доказательство этого.

Для общего квадратного уравнения, приведенное выше показывает, что достаточно найти два числа с произведением слагаемых , после чего факторизация будет существовать, и они будут корнями. Итак, мы хотели бы выяснить, существует ли так, что два числа и будут работать. Они автоматически в сумме. Их произведение является точным, когда выполняются эти два эквивалентных уравнения: поскольку квадратный корень всегда существует (с расширением до комплексных чисел, если необходимо), выбирая квадратный корень из или, мы можем удовлетворить последнему уравнению. Следовательно, два числа имеют слагаемое произведение и все являются решениями.

Вышеприведенной формулы уже достаточно для решения любого квадратного уравнения, потому что вы можете умножить или разделить обе части на число. так что перед. Однако просто для того, чтобы увидеть, что эта формула такая же, как и та, которую все привыкли запоминать (что больше не нужно в свете нашего метода), мы можем показать, как получить формулу для наиболее общего квадратного уравнения при. Нам просто нужно сначала разделить на, чтобы получить эквивалентное уравнение. Затем, подключив информацию и приведенные выше решения, мы получим, что решения следующие:

Резюме

Этот метод состоит из двух основных шагов, начиная с общего квадратного уравнения в стандартной форме.

  1. Из-за полиномиального разложения на множители, если мы можем найти два числа с слагаемым произведением, то это будет полный набор решений.
  2. Используйте древний вавилонский / греческий трюк (расширенный до комплексных чисел), чтобы найти эти два числа в любых обстоятельствах.

Для того, чтобы эти шаги были математически обоснованными как законченный метод, важно, чтобы при любых обстоятельствах, Шаг 2 fi находит два числа для использования на шаге 1, даже если они не являются действительными комплексными числами. Поэтому маловероятно, что математики до Кардано (~ 1545 AD) мог бы сделать это полностью.

Оба шага хорошо известны по отдельности. Оглядываясь назад, можно сказать, что их комбинация для формирования полного и последовательного метода решения общих квадратных уравнений проста и очевидна. Таким образом, основной вклад этого метода состоит в том, чтобы указать на что-то полезное, что скрывалось у всех на виду.

Исторические математические рукописи

Исследуя новизну этого подхода, я наткнулся на несколько древних математических работ. Благодаря Интернету теперь каждый может увидеть и оценить творчество первых математиков.