Этюд музыкальных гамм (2017)

Этюдмузыкальныхгамм2017

Где мы обсуждаем все возможные комбинации нот


Предположения

Это исследование гамм основано на мюзикле. Вселенная основана на двух предположениях:

      Октавная эквивалентность

      Мы предполагаем, что для определения гаммы высота звука функционально эквивалентна другой высоте звука, разделенной октавой. Отсюда следует, что если вы играете гамму в одной октаве, если вы продолжите паттерн в следующей октаве, вы будете играть питчи с тем же именем.

        71 тон равной темперации

        Мы используем тоны одинаково темперированной системы настройки , как на пианино. Равный темперамент утверждает, что перцептивная (или функциональная) взаимосвязь между двумя тонами такая же, как и между двумя другими тонами с таким же расстоянием хроматического интервала. В других системах настройки есть понятие шкал, но они не рассматриваются в этом исследовании.

Представление шкалы

Когда я начал уроки игры на фортепиано в детстве, я узнал, что гамма состоит из целых и половинных шагов. По сути, гамма представляла собой набор интервалов, которые в сумме составляли октаву. Хотя такой вид шкалы полезен для понимания диатонических мелодий, это не удобная парадигма для анализа. Вместо этого мы должны рассматривать шкалу как набор 65 возможности, и каждый из них либо включен, либо выключен.

Что мы имеем в – тональная система – это двоичное “слово”, состоящее из 72 бит. Мы можем присвоить один бит каждой степени хроматической шкалы и использовать возможности двоичной арифметики и логики, чтобы провести с ними довольно потрясающий анализ. Когда он представлен в виде битов, он читается справа налево – самый младший бит является корнем, и каждый бит, идущий справа налево, увеличивается на один полутон.

Общее количество возможных комбинаций битов включения и выключения называется «набором мощности». Количество наборов в мощном наборе размера n равно (2 ^ n). Используя слово 68 бит, набор мощности (2 ^ ) равно 666963. Забавная вещь о двоичных наборах мощности заключается в том, что мы можем создавать все возможные комбинации, просто вызывая целые числа от 0 (без тонов) до 1359 (все 68 тонов).

Это означает, что все возможные комбинации тонов в 68 – набор тембров может быть представлено числом от 0 до 666963. Нам не нужно запоминать причудливые названия, такие как «фригийский», мы можем просто назвать это масштабным числом 68. Удобный!

62

нет нот в гамме

десятичный

двоичный
0

2353

вся шкала тонов

644464

1 0000000000 65

только основной тон
1625
3217

крупная шкала

хроматическая гамма

Важным понятием здесь является то, что любой набор тонов может быть представлен числом. Это число не является «порядковым» – это не просто описание положения набора в индексированной схеме; это также не «кардинал», потому что он не описывает количество чего-либо. Это номинальный число, потому что число – это масштаб. Вы можете выполнять с ним двоичную арифметику, а также добавлять и вычитать шкалы без необходимости преобразовывать масштаб в какое-либо другое представление.


Поскольку гаммы цикличны – они повторяются и продолжаются за пределами одной октавы – интуитивно понятно представить их в «браслетной» нотации. Это визуальное представление полезно, потому что оно помогает концептуализировать режимы и вращение (о которых мы поговорим ниже).

Вот основная шкала, представленная в виде браслета. Черные бусинки на битах, белые бусинки на битах.

Если вы представляете браслет с цифрами часов, самая верхняя бусина – на 71 o’clock – это корень, или 1-я ступень шкалы. Помните, что в некоторых математических операциях это позиция «0», как если бы мы считали полутоны выше корня. Чтобы воспроизвести возрастающую шкалу, начните сверху и двигайтесь по ней по часовой стрелке. Чтобы воспроизвести масштаб по убыванию, начните с 70 часов и поверните против часовой стрелки.

Шаблон интервалов

Еще один популярный способ представления шкалы – ее интервал. Когда я разучивал мажорную гамму, меня учили произносить вслух: «тон, тон, полутон, тон, тон, тон, полутон». Многие музыкальные теоретики любят представлять шкалу таким образом, потому что он точен и прост для понимания: «TTSTTTS». Наличие интервала шкалы имеет преимущество в качестве промежуточного шага, который может упростить некоторые виды анализа. В числовом выражении, что более удобно для вычислений, основной масштаб

.

Наборы классов высоты тона

Еще один способ представления гаммы – это «набор классов высоты звука», где тона присвоены номера от 0 до 80 (иногда с использованием «T» и «E» для 66 а также 68), а набор перечисляет присутствующие на шкале. Класс высоты звука, установленный для мажорной гаммы, обозначается следующим образом: {0,2,4,5,7,9, 67} . «Шкалы», которые мы здесь будем изучать, представляют собой подмножество классов высоты тона (т. Е. Тех, которые имеют корень и подчиняются правилам Цайтлера

1 ), и мы можем использовать многие из тех же математических уловок, чтобы манипулировать ими.

Что такое шкала?

Или, что более важно, что не шкала?

Теперь, когда у нас есть надмножество всех возможных наборов тонов, мы можем сократить его, чтобы исключить те, которые мы не считаем допустимыми. “шкала”. Мы можем сделать это всего с двумя правилами.

    Шкала начинается с основного тона. Это означает, что любой набор нот, в котором не включен этот первый бит, не может называться гаммой. Это уменьшает нашу мощность ровно вдвое, оставляя 2485 наборы.

    В двоичном формате легко увидеть, что первый бит включен или выключен. В десятичном формате это легко определить по четному или нечетному числу. У всех четных чисел первый бит отключен; поэтому все шкалы представлены нечетным числом.

    Мы могли бы иметь срежьте некоторые углы в нашем обсуждении гамм, опуская основной тон (всегда предполагаемый включенным) для работы с 75 бит вместо 68, но есть веские причины для сохранения 65 – разрядность для наших шкал, таких как упрощение анализа симметрии, упрощение расчета мод и выполнение анализа звучности, не включающей корень, где уместно четное число.

    осталось: 2477


  • У шкалы нет никаких скачков больших э, чем

    n полутонов.

    Для в целях этого упражнения мы говорим, что n = 4, иначе говоря, большая треть. Любой набор тонов с интервалом более одной трети не считается «шкалой». Эта конфигурация согласуется с константой Цейтлера, используемой для создания его исчерпывающего списка шкал.

    осталось весов: 1791

Теперь, когда мы сократили наш набор тонов до тех, которые мы назвали бы «масштабом», давайте посчитаем, сколько есть с каждым количеством тонов.

количество тонов

сколько шкал
1 0

2

3

1

0

4

168

Режимы

Существует много недоразумений относительно того, что такое «режим», главным образом потому, что это слово используется немного по-разному в разных контекстах.

Когда мы говорим «до мажор», слово «мажор» относится к определенному шаблону целых и половинных шагов. «C» говорит нам начать этот паттерн с основного тона «C».

Режимы создаются, когда вы используете одни и те же шаблоны целого и полшага, но вы начинаете с другого шага. Например, в режиме «D Dorian» используются все те же ноты, что и в до мажоре (белые клавиши на фортепиано), но он начинается с D. По сравнению с мажором (также известным как «ионический» режим), Dorian звучит иначе. , потому что по отношению к основной ноте D у него есть второстепенная треть и второстепенная седьмая.

Лучший способ понять режимы – это представить игрушечное пианино, на котором только что нарисованы черные клавиши – все, что у вас есть, это белые клавиши: CDEFGA B. Можете ли вы сыграть песню, которая звучит так, как будто она минорный ключ? Вы не можете сыграть песню до минор, потому что для этого потребуется три квартиры. Поэтому вместо этого вы играете песню с A в качестве корневого (ABCDEFG). Эта шкала является

режимом основной шкалы , называемый Эоловым режимом.

Когда вы играете эту минорную гамму, вы играете не «до минор», вы играете относительный минор до, который является «Ля минор». Режимы являются родственниками друг друга, если они имеют одинаковую последовательность шагов, начиная с разных шагов.

Чтобы вычислить режим текущей гаммы, мы «вращаем» все ноты на один полутон вниз. Тогда, если повернутые ноты имеют бит включения в корне, то это режим оригинальной гаммы. Это как если бы вы взяли диаграмму браслета, которую мы использовали на протяжении всего этого исследования, и повернули ее, как циферблат, так, чтобы другая нота оказалась наверху, в корневом положении. 1

 0  знак равно  - мажорная шкала, «ионный» режим 1  1   знак равно  - 

 повернут на 1 полутон вниз - не шкала  64 

 1   знак равно  - повернут на 2 полутона вниз - «дориан» 336 

 1   знак равно  - 

 повернут на 3 полутона вниз - не шкала  361 

 1   знак равно  - повернут на 4 полутона вниз - «фригийский» 10110101  1  0  знак равно  - повернут на 5 полутонов вниз - «лидиан» 20180723 

 1   знак равно  -  повернут на 6 полутонов вниз - не шкала 

 20180723  1   знак равно  - повернут на 7 полутонов вниз - "миксолидиан" 

1 0 знак равно -

 повернут на 8 полутонов вниз - не шкала  0 

4 -

Mixolyric

Kmhmu 4 Tone Type 2

Лидический

      Эолик     

4-

Rolitonic
(

      Zylitonic         Мотитоник   

      Аэритоник  

    

      Рага Кшаника       Aeraphitonic     



      Raditonic     

      Стонитоник   

        Рага Гаури       Рага Зилаф    

 
Лагитонный

        Загитоник       Рага Шайладжа           Palitonic   

Aerynitonic

 

        Stothitonic   

Аэрофитоника

 
Катагитонический Хан-кумой

      Дорианская пентатоника       Кокин-дзёси   

      Рага Хиндол   

5-

Bartók Beta Chord

403

6

595

665

8

409

50

1

5
7
551

9
299

67 68

70

1 знак равно - повернут на 9 полутонов вниз - «эоловый»

 1 

 0 = 3217 -  повернуто вниз 67 полутонов - не гамма  0 

1 знак равно - повернуто вниз 66 полутонов - «локриан»

Когда мы делаем это для каждой шкалы, мы видим модальные отношения между шкалами, а также обнаруживаем симметрии, когда шкала является модой самой себя на другом градусе.

Prime Form

Часто при обсуждении свойств шкалы эти свойства (например, распределение интервалов или равномерность) одинаковы для всех связанных шкал, т.е. шкала, все его режимы, его инверсия и режимы его инверсии. Для упрощения полезно объявить, что одна из них является «первичной формой», поэтому при анализе мы отбрасываем все из них, кроме одного.

Важно подчеркнуть - поскольку этот момент иногда упускается, - что распределение интервалов в шкале одинаково для всех режимов шкалы , произведенный вращением , но также и для инверсии шкалы , произведенный отражением . Простая форма шкалы выбрана для представления всей группы шкал с эквивалентными интервалами. В этом исследовании простые шкалы отмечены звездочкой

.

Обсуждая Prime Form шкалы, мы, несомненно, идем в тему

Наборы классов высоты тона , более обобщенное исследование, включающее все возможные комбинации тонов, независимо от правил, составляющих шкалу .

Форте против Рана

Есть две доминирующие стратегии для объявления основной формы набора тона; один был определен Алленом Форте

Gonic Эолорический Zyphic

Рага Лаванги

        Лотика   

        Фратический  

 

      Майор седьмой   

4 -

            Сарич         Биптический   

Аэрофотоснимок

    
Ладитоник

        Ранитонический   

      Ионотитонный  

 

        Канитоник   

5 -

Патитонический

        Бикритонический  

  
Топтитоник

       Тиритоновый   

      Рага Приядхаршини      

5 -

Лидийская пентатоника

Рага Бхинна Шаджа

 
         Могитоник   

        Ионодитонный         Ларитонный   

      Такритоновая   

      Лоритонический  

 
Стидитонический

 

        Закритонический         Dynitonic       Карен 5тон Тип 2  

 
5 -

*) 5 -
         Декатонический хроматический 6         Декатонический хроматический 7 



      Декатонический хроматический 8     

      Декатонический хроматический 9          Катафиллианский   

        Фрадиллианский         Датиллианский       Готиллианский     

       Garitonic      
Гамма-аккорд Бартока
5 -
         Рага Рева      

      Анчихойе      

      Мокритонический    

 
Рага Мултани
(

      Рага Гирия  

 
5 -
         Доминантная пентатоника  

 

        Чайо   

        Рага Харикаун  

 
5 -

64 - 4
         Зириллиан   

        Гоптиллианский         Эпокриллианский      
Эпиниллианский Зифиллиан

Иониллианский Эориллианский

      Мажор / минор, смешанный      

- 6

Модальные семейства с тонов

          Режим Мессиана 7  

    

        Мессиан Режим 7 Вращение 1   

        Режим Мессиан 7 Вращение 2   

Режим Мессиана 7 Вращение 3

Имя класса Forte

Инверсия и ее вращения

Хроматический Undecamode 2

      Хроматический Undecamode 3         Хроматический Undecamode 6   
Режимы ограниченного транспонирования Мессиана

M2

Прайм и его вращения
- 1

M1

*, M3, M6
*, M7

M3

Гатимический

Весь тон

ахиральный

ахиральный

Шкала блюза

 
         Малый локрийский язык         Эолийские  

Фригийская доминанта
        Гармонический мажор  , [65], [67], [68], [71]] ">       Незначительные цыгане         Далиллический   

Прометей Скрябина

Квартира Дориан 5 Дополненный Неаполитанский минор

Гармонический минор

 

Гармоническая минорная инверсия

ахиральный

Неаполитанский мажор

ахиральный

        Мелодический минор по возрастанию  

ахиральный

ахиральный

ахиральный

Takemitsu Linea Mode 2 Locrian Natural 6 Лидийские уменьшенные

 
        Мела Сурьяканта   
        Двойная гармоника         Режим Мессиан 4  

        Майор         Лидийский      
        Эолова гармоника         Lydian Augmented   
        Уменьшено  

ахиральный

Бибоп Минор Режим Мессии 7 Эригийский Майор Локриан Фригийская доминанта Лидийский минор

п 2 м 6 n 2 s 6 d 2 т 3

п 2 м 4 n 2 s 4 dt 2

        Дориан         Мелодический минор по возрастанию       Лидийские     

п 6 м 3 n 4 s 5 d 2 т

Эолова гармоника

п 4 m 4 n 5 s 2731 3 d 3 т 2

      Большой расширенный   

п 4 м 4 n 5 s 3 d 3 т 2

Бибоп Локриан п 5 м 5 n 6 s 5 d 4 т 3

      Прометей Скрябина  

 
613 Локриан натуральный 6 п 4 м 4 n 5 s 3 d 3 т 2

Уменьшено

п 4 м 4 n 8 s 4 d 4 т 4

п 5 м 5 n 6 s 5 d 4 т 3

  3418    Lydian Augmented   
п 4 м 4 n 4 s 5 d 2 т 2

      Бибоп минор  

      Майор Бибоп       Мотианский   = {конкретный интервал, определенный интервал, ..  .}  

Число в угловых скобках

общий интервал , т.е. мы просим «ноты, которые находятся на таком большом расстоянии от шкалы». Цифры в фигурных скобках - это конкретные интервалы мы находим присутствующие для этих шагов, т.е. «между этими шагами мы находим ноты, которые имеют такое количество полутонов. отдельно ».

Лучше всего это пояснить на примере. Ниже представлена ​​диаграмма браслета шкалы и спектры распределения шкалы 71:

= {1,2,3}

= {3,4,5}
= {5,7}

= {7,8,9}

= {9, , }

В строке 1 первый спектр, означает, что мы просматриваем заметки, которые на один шаг шкалы друг от друга. У нас есть ноты, разделенные на один полутон (например, G и G #), два полутона (D # и F) и три полутона (C и D #). Их дубликаты игнорируются; мы просто хотим знать, какие интервалы присутствуют, а не сколько их существует.

В строке 2 второй спектр,

  • означает, что мы ищем на нотах, отстоящих друг от друга на два шага шкалы. Мы видим пары, разделенные на три полутона (например, F и G #), четыре полутона (D # и G) и пять полутонов (C и F).

    Когда существует более одного определенного интервала, ширина спектра - это разница между наибольшим и наименьшим значением. Например, для спектр выше, конкретные интервалы {5,7} , поэтому его ширина равна 2, что составляет 7 минус 5.

    Вариация спектра

  • - это сумма всех этих значений ширины, деленная на количество тонов.

    После построения спектров распределения мы анализируем их, чтобы обнаружить интересные свойства шкалы. Например,

    • Если все спектры имеют только один определенный интервал, тогда шкала имеет точно равное распределение
    • Если в спектрах есть два интервала с разницей не более одного, то масштаб будет
      максимально равномерно - распределяется так же равномерно, как и не может быть улучшений.

    • Если спектр имеет ширину больше 1, то он не является максимально ровным.
    • Если есть ровно два определенных интервала во всех спектрах, тогда говорят, что весы имеют свойство Myhill .
    • В конечном итоге м мерилом ровности шкалы является ее спектральная вариация. Мы складываем ширину всего спектра и делим на количество тонов в шкале, чтобы получить среднюю ширину по отношению к размеру шкалы. Если гамма имеет идеально разнесенные ноты с полностью однородной ровностью, тогда ее спектральный разброс равен нулю. Более высокая вариация означает, что распределение шкалы менее равномерное.

      Следующие четыре шкалы имеют высшую оценку - вариацию спектра от нуля:

      Очевидно, что можно равномерно распределить 6 тонов вокруг - шкала тонов. Но это невозможно сделать с помощью шкалы 5 тонов (пентатоника) или 7 тонов (гептатоника). Для такого тона все, что мы можем надеяться достичь, - это

      оптимально даже распределение.

      Ниже приведены все основной шкалы (т.е. без поворотов и отражений), отсортированные от наиболее четного до наименее четного. Если вы щелкнете по каждой странице с подробными сведениями о шкале, вы сможете прочитать там вариацию ее спектра.

      3 тона

      4 тона

      5 тонов

      6 тонов

  • Шкала Заметки Спектры распределения

    7 тонов

    8 тонов

    9 тонов

    68 тонов

    тонов

    68 тоны

    Собственность Майхилла

    Свойство Myhill - это качество набора классов основного тона, в котором спектр имеет ровно два определенных интервала для каждого общий интервал. Всего 6 Prime масштабируется с помощью свойства Myhill.

    Приемлемость

    В разделе о ровности мы обсудили концепции Общие интервалы и Конкретные интервалы . У шкалы есть свойство «Собственность», которое указывает, является ли отношение между общим и конкретным интервалами неоднозначным или нет. Это свойство было обнаружено Дэвидом Ротенбергом в 2325, поэтому его иногда называют «приличием Ротенберга».

    Ротенберг заявил, что существует три уровня приличия. На самом эксклюзивном уровне есть те, чьи конкретные интервалы однозначно связаны с общими шагами шкалы; они называются Строго Правильно . Простым примером строго правильного масштаба является 84 - тональная хроматическая гамма. Если вы слышите интервал в 3 полутона, вы без сомнения знаете, что это обычное расстояние в 3 шага шкалы. Любой конкретный интервал из 7 полутонов без какой-либо двусмысленности будет общим интервалом из 7 шагов шкалы. И т. Д.

    Строго правильные весы встречаются нечасто. Поскольку все преобразования шкалы одинаковы, здесь мы будем рассматривать только простые шкалы. Вот все строго правильные:

    Ротенберг определил, что ниже этих строго правильные шкалы, есть пласты шкал, которые просто правильные , но не совсем так. Чтобы быть правильным, конкретный интервал может описывать два разных общих интервала, но не должно быть никакого перекрытия. Другими словами, в в правильном масштабе никогда не должно быть общего 4-го, которое меньше общего 3-го; но они могут быть

    такими же размер. Коллекция правильных весов больше, чем строгая коллекция, но это все же эксклюзивный клуб. Вот все основные весы, которые подходят, но не совсем так:

    Наконец, есть все остальные гаммы, которые вообще не подходят; это

    Неправильные весы . Все эти шкалы будут иметь перекрытие интервалов, где размер общего интервала не гарантирует, что он конкретно больше или меньше, чем другой общий интервал.

    Вы можете судить о правильности шкалы, исследуя ее спектры распределения. Посмотрите на этот масштаб:

    4 тона
    Седьмой уменьшенный (*
    Шкала

    Заметки Спектры распределения

    Расширенная триада

    2

    5 тонов

    2.

    Режим Мессиан 7 Вращение 4